Suma de Riemann. El área bajo la curva

La suma de Riemann

De acuerdo a la ficha biográfica que se encuentra en Wikipedia, Georg Friedrich Bernhard Riemann nace en Breselenz, Alemania, 17 de septiembre de 1826 y muere en  Verbania, Italia, 20 de julio de 1866) fue un matemático alemán que realizó contribuciones muy importantes al análisis y la geometría diferencial, algunas de las cuales allanaron el camino para el desarrollo más avanzado de la relatividad general. Su nombre está conectado con la función zeta, la hipótesis de Riemann, la integral de Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la geometría de Riemann.

La suma de Riemann se define el área acotada en un intervalo [a , b] para una función dada. Para esa medición se utilizan 3 métodos básicos que se les conoce respectivamente, con los nombres de  método de rectángulos exteriores, método de rectángulos interiores, y método de trapezoides. 

En forma simbólica la fórmula se escribe así:

Esto se lee así: La integral definida desde a hasta b de la función diferencial de f(x)dx es igual a la función primitiva F(x) 

La suma de Riemann utiliza rectángulos exteriores, o interiores o bien, trapezoides para hacer la integral o suma de áreas. Lo anterior, da origen a dos principios fundamentales del Cálculo que se pueden enunciar de la siguiente forma: 

Primer teorema fundamental del Cálculo:

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b]. La función integral F(x) está dada por:

Donde F(x) es una función diferenciable en el intervalo [a, b] y se conoce como antiderivada de f(x). 

Este teorema se puede resumir así: "Si una función es diferenciable en un intervalo dado, entonces, existe su integral o antidiferencial en dicho intervalo"

Segundo teorema fundamental del Cálculo:

Si f(x) es una función continua en [a , b] y F(x) es diferenciable en el mismo intervalo con la condición de que F'(x) = f(x), entonces:

 

Con este teorema, se garantiza que las antiderivadas o antidiferenciales evaluadas en los límites a y b, del intervalo dado de la función, da como resultado el área de la región o de la curva

Para dejar más claro lo anterior veamos las siguientes imágenes para lo cual se usó la función  f(x) = x²  en el intervalo de [0 , 3] con rectángulos interiores, exteriores y con trapezoides, usando 10 rectángulos:

Si comparamos las áreas así obtenidas, vemos lo siguiente:

• Rectángulos interiores:   9.695
• Rectángulos exteriores:  10.394
• Trapezoides:   9.045

Basta una mirada para darnos cuenta que la cifra más aproximada a lo real es el gráfico obtenido con los trapezoides

Conjeturas matemáticas con relación a la suma de Riemann

A continuación te presento un simulador elaborado en Geogebra para ejercites tus habilidades de pensamiento variacional (las áreas bajo la curva). Te recomiendo que lo uses antes de realizar las tareas de la sesión 2 y 3 que se encuentran en classroom. Este material es complementario a los ejercicios vistos en clase. De hecho, puedes mover el botón deslizador para que verifiques los resultados que obtuvimos en la clase. Las preguntas que ves a continuación te servirán de guía para facilitar la comprensión del tema y también, conducir la discusión en el apartado de comentarios.

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En este applet, se ilustra el ejemplo clásico del área bajo la curva para la función f(x) = x² en el intervalo de [ 0 , 3 ], y con 0 ≥ n ≥ 20. Dicho de otro modo, a= 0 , b= 3 y n varía de 0 a 20.

Observa que sucede cuando n = 1, 2, 3, etc... en la tabla, en el lado derecho puedes ver los valores de la función  f(x), cada que x, cambia a intervalos iguales dados por el valor h

Enseguida, y con las fórmulas que obtuvimos en clase, la pregunta es: ¿Qué valores de la tabla debemos usar para obtener los resultados que ahí se muestran para el área con rectángulos y con trapecios?

Inténtalo... ¿ok?




En este applet, puedes cambiar el valor de la función usando el cuadro que dice Función, también, puedes hacer que varíen los valores de a y de b así como el de n de tal forma, que puedes comprobar los resultados de las tareas de las sesiones 2 y 3.

Preguntas de reflexión para discutir en el cuadro de comentarios (se toman en cuenta como participación en la calificación del periodo). Como podrás observar en el gráfico, hay rectángulos trazados por encima de la curva (exteriores de color azul) y rectángulos trazados por dentro (interiores, color rojo). De igual forma, existen trapecios que cortan por mitad los excedentes de dichos rectángulos.

• ¿Cuál de las tres formas de medir el área te parece más exacta?¿Los rectángulos exteriores o los interiores?¿O los trapecios?
• Si usáramos un número grande de figuras, por ejemplo n=1000, ¿Se obtendría el mismo resultado? ¿Hay algún punto en el que ya no hay diferencias?
• ¿De qué depende entonces la exactitud: del método, del valor de n o de ambos?

Ánimo... te invito a que respondas las preguntas en la sección de comentarios...